2011年小升初奥数基础教程更新第六讲

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第一讲
定义新运算

我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。
例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：　a*b=a×b-a-b。
　　求12*4的值。
分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。

　　12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。

　
根据以上的规定，求10△6的值。
　　

3，x>=2，求x的值。
　　分析与解：按照定义的运算，
　　<1，2，3，x>=2，
　　
　　
　　x=6。
由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。
　
　　
分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。
　　
四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。
　　
　
按通常的规则从左至右进行运算。
　　
　　

2010/08/03回复

tanglong4466楼板凳

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2010/08/03回复

米紫4楼

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2010/08/03回复

tanglong4466楼5楼

第二讲
数的整除性

三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。
　　数的整除性质主要有：
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
(2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
　(3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。
例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。

2010/08/04回复

Freda_Qin6楼

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2010/08/05回复

tanglong4466楼7楼

第三讲
质数与合数

　自然数按照能被多少个不同的自然数整除可以分为三类：
　第一类：只能被一个自然数整除的自然数，这类数只有一个，就是1。
　第二类：只能被两个不同的自然数整除的自然数。因为任何自然数都能被1和它本身整除，所以这类自然数的特征是大于1，且只能被1和它本身整除。这类自然数叫质数（或素数）。例如，2，3，5，7，…
　第三类：能被两个以上的自然数整除的自然数。这类自然数的特征是大于1，除了能被1和它本身整除外，还能被其它一些自然数整除。这类自然数叫合数。例如，4，6，8，9，15，…
　上面的分类方法将自然数分为质数、合数和1，1既不是质数也不是合数。
　例1 1～100这100个自然数中有哪些是质数？
分析与解：先把前100个自然数写出来，得下表：

　1既不是质数也不是合数。
　2是质数，留下来，后面凡能被2整除的数都是合数，都划去；
　3是质数，留下来，后面凡能被3整除的数都是合数，都划去；
　类似地，把5留下来，后面凡是5的倍数的数都划去；
　把7留下来，后面凡是7的倍数的数都划去。

2010/08/05回复

tanglong4466楼8楼

第四讲
分解质因数

　　自然数中任何一个合数都可以表示成若干个质因数乘积的形式，如果不考虑因数的顺序，那么这个表示形式是唯一的。把合数表示为质因数乘积的形式叫做分解质因数。
　　例如，60=22×3×5， 1998=2×33×37。
　　例1 一个正方体的体积是13824厘米3，它的表面积是多少？
　　分析与解：正方体的体积是“棱长×棱长×棱长”，现在已知正方体的体积是13824厘米3，若能把13824写成三个相同的数相乘，则可求出棱长。为此，我们先将13824分解质因数：

　　把这些因数分成三组，使每组因数之积相等，得13824=（23×3）×（23×3）×（23×3），
　　于是，得到棱长是23×3=24（厘米）。所求表面积是24×24×6=3456（厘米2）。

2010/08/06回复

tanglong4466楼9楼

第五讲
最大公约数与最小公倍数

　　如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

　　如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。自然数a1，a2，…，an的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，an）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

　　如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。自然数a1，a2，…，an的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，an]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

　　常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

　　例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？

　　分析与解：因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是144，180，240的最大公约数。

2010/08/07回复