小升初数学系列讲座之五六级衔接篇

小升初数学系列讲座之五六年级衔接篇

09年小升初应试的硝烟尚未散尽，准小升初的MM们已开始投入行动，暑期是小五升小六学生夯实基础提升能力的重要时期，现在市面上很难找到一本针对性强的教辅资料。小升初虽然有少量奥数试题，但大部分考题是与教材相关的内容，奥数书籍的编排设计是针对“华杯”和“希杯”等竞赛，对小升初的实际指导作用不大，而且一般奥数书籍与教材知识联系不紧，很多学生在学习奥数过程中都容易丧失信心。笔者根据近两年小升初辅导经验，紧扣五六年级人教版教材编排体系，结合广州近三年民校招生试题、名校择校考试试题汇编小升初数学系列讲座。讲座预设分为五大部分：五六年级衔接篇、六年级同步训练篇、专项强化训练篇、综合模拟篇、考前押题篇，一来作为辅导教学和训练资料，二来也是对近年来所做研究的小结。五六级衔接篇将在MM网中陆续刊出，请敬关注。

五六年级衔接篇
            目录

第一讲       小数简便运算       （6.27日更新）
第二讲       列方程解应用题    （6.29日更新）
第三讲平均数问题          （7.1日更新）
第四讲面积的计算
第五讲       数的整除
第六讲质数、合数与分解因数（7.3日更新）
第七讲       最大公约数          （7.5日更新）第八讲       最小公倍数
第九讲       行程问题（一）相遇问题第十讲       行程问题（二）追及问题
第十一讲    行程问题（三）火车过桥问题
第十二讲行程问题（四）行船问题
第十三讲    工程问题
第十四讲消去法解应用题
第十五讲    作图法解应用题
第十六讲    奇数与偶数

说明：第四讲  面积的计算，第五讲数的整除，因图形和特殊符号很多，给打印和编辑带来很的困难，需稍晚才能推出，希望理解！

已帮楼主做好楼梯，方便大家阅读，直接点击即可，不用翻页
——妈网小编

[ 本帖最后由杨不悔于 2009-7-21 16:38 编辑 ]

2009/06/27

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第一讲
小数简便运算

导读小数是一种奇妙的数，小小圆点可以带来无穷的变化。小数的计算技巧是指小数的运算速度与巧算，它除了可以灵活运用整数四则计算中我们已经学过的许多速算与巧算的方法外，还可以利用小数本身的特点。计算时要注意审题，善于观察题目中数字的特点，灵活地运用小数的运算性质、运算技巧，确定合理简便的算法。

例题1 计算下列各题。
（1）5.8 ＋2.32 ＋0.68＋ 4.2
（2）65.4 －4.29 ＋ 24.6－5.71
（3）1999＋199.9＋19.99＋1.999
分析（1）5.8与4.2刚好凑成10，2.32与0.68刚好凑成3，这样凑整可以使运算简便。
（2）这是一道加减法混合运算题，属于同一级运算。在同一级运算中，任意两个数都可以随意互换位置，两数交换位置的同时，必须将它们前面的符号一起与之移动。通过观察发现，如果将第二个数和第三个数换位，那么65.4与24.6相加得整数，再看“－4.29－5.71”，这部分又可以运用减法的运算性质，减去两个数转化为减去两个数的和，即 a－b －c =a－(b＋C),进行简算。
（3）1999接近整千数2000，其余各加数分别接近一个整数，可先把各加数看作与它接近的容易计算的数，再把多加的那部分减去。
解：（1）5.8＋2.32 ＋0.68＋4.2
（2）65.4－4.29 ＋24.6 －5.71

＝（5.8＋4.2）＋（2.32 ＋0.68）＝65.4 ＋24.6 －4.29 －5.71

＝10＋3

＝（65.4＋ 24.6 ）－（4.29＋ 5.71）
＝13

＝90－10＝80
（3）1999 ＋199.9 ＋19.99＋ 1.999
＝2000 ＋200 ＋20＋2－ 1－ 0.1－ 0.01 －0.001
＝2222－ 1.111

＝2220.889
即时练习1
计算
（1）5.32＋ 2.06 ＋19.4＋ 1.84 ＋7.68
（2）18.6 －9.3 ＋1.4－1.7

（3）0.9 ＋9.9 ＋99.9 ＋999.9＋9999.9

2009/06/27回复

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例题2  计算下列各题。
（1）0.25 ×12.5 ×3.2
（2）18× 5.5
分析：（1）把3.2化成4 0.8，再把4与0.25结合，0.812.5结合，即可简化运算。
（2）运用分解法巧算。把18分解为9×2，然后运用乘法结合律，把2×5.5结合，积为11，最后求出9与11的积。
解：（1）0.25× 12.5 ×3.2
（2）18×5.5
   ＝0.25 ×12.5 ×4× 0.8
＝（9×2）×5.5
   ＝（0.25× 4）×（12.5× 0.8）                   ＝9×（2 ×5.5）
   ＝1×10

＝9×11
   ＝10

＝99
即时练习
（1）0.125 ×0.25 ×0.5× 64

（2）8.88 ×1.25

例题3 （1）47.39 ÷0.25

（2）12.348÷ 2.5
分析在整数除法运算中，由于2 ×5 ＝10，4× 25 ＝100，8×125 ＝1000产生的速算法有不少用处，在小数乘法运算中，它们不仅可直接应用，还出现了多种变形，如0.2 ×5 ＝1 ，2× 0.5 ＝1，0.4 ×2.5 ＝1，因而内容丰富，用途更广泛。
（1）因为0.5× 2 ＝1，一个整数除以0.5，相当于这个数除以1，再乘以2。
（2）因为2.5× 4 ＝10，一个数除以2.5 ，相当于这个数除以10，再乘以4。
解：（1）47.39÷ 0.5
（2）12.348÷2.5
12.348÷2.5

＝47.89 ÷1×2
＝12.348 ÷10×4
或＝123.48 ÷25
   ＝94.78

＝1.2348×4

＝123.48 ×4 ÷100

＝4.9392

＝4.9392
即时练习3
用简便方法计算。
（1）3.6 ÷2.5
（2）31÷0.125

2009/06/27回复

tanglong4466楼4楼

例4  计算：（4.8 ×7.5 ×8.1 ）÷（2.4× 2.5 ×2.7）
分析：  这道题可以直接用小数乘法法则，先分别算出两个括号中的积，然后再求商。但是也可以根据商不变的规律：“被除数和除法同同扩大或缩小相同的倍数，商不变”来做。先把被除数和除数同时扩大10 ×10 ×10倍，变成整数除以整数，然后再把被除数同时缩小若干倍进行简算。
解：（4.8 ×7.5 ×8.1）÷（2.4 ×2.5×2.7）
＝（48×75×81 ）÷（24 ×25×27）
＝（12×4×25×3×81）÷（6×4×25×3×9）
＝（12×100×3×81）÷（6×100 ×3×9）
＝（12×81）÷（6×9）
＝（2×6×9 ×9）÷（6×9）
＝2 ×9 ＝18
即时练习4
（4.5× 7.5 ×4.8）÷（1.5 ×2.5× 2.4）

例题5 计算：3.74 ×5.8 ＋62.6 ×0.58
分析：仔细观察不难发现，第一个式中有因数5.8，第二个因数中有0.58，我们可以把5.8缩小10倍变成0.58，使它和第二个乘式中的因数0.58相同。要注意的是，要使第一个乘式的积不变，一个数缩小10倍，另一个因数就要扩大10倍，这是积不变的规律。然后根据乘法分配律进行简算。想一想，可以把第二个乘法中的因数0.58变成5.8吗？你怎样解呢？
解法一：3.74 ×5.8 ＋62.6×0.58
解法二：3.74 ×5.8 ＋62.6×0.58
   ＝37.4×0.58 ＋62.6×0.58
＝3.74×5.8 ＋6.26×5.8

＝（37.4 ＋62.6 ）×0.58
＝（3.74 ＋6.26）×5.8

＝100 ×0.58＝58

＝10× 5.8＝58
即时练习5
4.7 ×2.8 ＋3.6×9.4

例题6

计算：12.9 ÷0.72 ＋43.5 ÷3.6
分析：这道题是求两个商的和，但是两个商中的除数不相同，根据商的变化规律，可以把12.9
÷÷0.72变成64.5÷3.6（即被除数和除数同进扩大5倍），这样两个商中的除数就都是3.6了。又由于乘法分配律可以推广到除法计算，于是运用乘法分配律把相同的除数提出来，使计算简便。
解：12.9 ÷0.72 ＋43.5 ÷3.6
  ＝64.5 ÷3.6 ＋43.5 ÷3.6
  ＝（64.5 ＋43.5）÷3.6
  ＝108 ÷3.6
  ＝30
即时练习6
计算：43 ÷0.07＋ 860 ÷2.6

2009/06/27回复

tanglong4466楼5楼

练兵台
1．11.5 ＋3.2 ＋7.5 ＋12.8
8.69＋7.35 ＋3.41 ＋2.65

2．76.4－ 42.13－ 9.66－ 5.87－ 6.34
20.36 －7.98 －5.02 －4.36

3．76.5× 10.2
19× 3.1
8.25× 18
6.8 ×101

4． 238 ÷1.25
1.99 ×5
0.24 ×0.125× 0.3

20 ×12.5 ×0.8× 0.5

5． 1.25×0.25 ×64 ×3.176 ×0.5
80 ×25 ×2 ×1.25 ×0.5× 0.4

6．4.92÷ 0.25 ÷0.4
47.85 ÷6.38×0.638

7．1.3÷0.25
51.2÷0.5

8．(0.39×0.7) ÷(0.56×3.9)
(12.5 ×2.5×3.2)÷ (50×1.6×2.5)

9．2.25 ×0.16 ＋264 ×0.0225＋5.2 ×2.25＋0.225 ×20

10．7.816×1.45＋3.14× 2.184＋ 1.69 ×7.816

2009/06/27回复

tanglong4466楼6楼

例题5  五（1）班同学捐出一些文具给灾区的小朋友，文具盒的个数是钢笔的2倍，每次取出8个文具盒和6支钢笔，取了若干次后，讲台上剩下22个文具盒，钢笔只剩下1支。五（1）班学生原来捐了文具盒和钢笔各多少？
分析：假设取了x次，则文具盒有（8X ＋22 ），钢笔有（6X ＋1）支。根据“文具盒的个数是钢笔的2倍”可列出方程。
解：设取了X次。
8X＋ 22 ＝2（6X 1）
8X＋ 22＝12X ＋2

4X ＝20
X ＝5
6X ＋1 ＝31
8X ＋22 ＝62

例6 一条轮船在两个码头间航行，顺水航行需要8小时，逆水航行需要10小时，水流速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度。
分析  流水行程问题的关系式：顺水速度＝静水船速＋水速，逆水速度＝静水船速—水速；路程＝顺水速度×顺水时间，路程＝逆水时间×逆水速度。船在顺水所行驶的路程与逆水所行驶的路程相等，都是两个码头之间的距离，所以有等量关系：顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间。
解：设轮船在静水中的速度为每小时X千米，列方程得：

8（X ＋2）＝10（X －2）

8X ＋16 ＝10X －20

10X －8X ＝ 16 ＋20

2x ＝36

X ＝18
即时练习
一艘轮船在两个码头间航行，顺水航行需8小时，逆水航行多用4小时，水流速度为每小时4千米，求轮船在静水中的速度是多少？

例7   有一个三位数，个位数上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？
分析：如果原来的这三位数是□□ 5→ ×10 ＋5，那么新的三位数是5□□→ 500＋x,要根据题意列等式解方程。
解：设原三位数中的百位数字与十位数字拼成二位数为X，可得方程：

10X ＋5 ＝500 ＋X ＋108

10X －X ＝500 ＋108－5

9X＝ 603

X＝67
10×67 ＋5 ＝675
即时练习7
一个三位数，十位数是百位数的2倍，百位数又是个位数的2倍，三个数位上的数字和是14，这个三位数是多少？

练兵台
1．一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，将个位数字与十位数字调换得到一个新的两位数，这两个两位数的和是132，求这个两位数。

2．甲、乙、丙、丁四位小朋友共有81本书，如果把每人的书的本数甲加2、乙减2、丙减2、丁除以2，则四个人所有书的本数相等，求甲、丁原来各有书多少本？

3．有一个四位整数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再与这个四位数相加，得数是2000.81，求这个四位数。

4．某家电按定价卖出可得利润240元，若按定价的8折出售，则要亏损208元，问此家电的进价是多少元？

5．学校体育器材室的足球只数是排球的3倍，课外活动时中，每班借8只足球，6只排球，排球刚好借完时，还有足球180只，体育器材室里原来有足球和排球共多少只？

[ 本帖最后由 tanglong4466 于 2009-7-2 23:19 编辑 ]

2009/06/29回复

tanglong4466楼7楼

第三讲
平均数问题

导读较复杂的平均数问题的特点是：题中直接或间接地给出几个不相等的同类量，与相对应的份数，求这些同类数的平均数。解答这些平均数问题一定要牢记以下数量关系：
   平均数  ＝总数量 ÷总份数
   总数量  ＝平均数 ×总份数
   总份数  ＝总数量 ÷平均数
平均数  ＝基数＋每个数与基数的差的和 ÷数的个数
例题1  某三个数的平均数是5，如果把其中的一个数改为10，平均数就成了7，被改的数原来是多少？
分析：从题中可以知道，原来三个数的和是5×3 ＝ 15，后来三个数的和是7×3＝21，比15多出了6，是因为把那个数改成了10。因此，原来的数应是10－6 ＝4。
解：10－ (7×3－5×3 )＝4
即时练习
某九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？

例题2  一次登山比赛中，小辉上山时每分钟走60米，18分钟到达山顶，按原路下山时，每分钟走90米，求小辉上山、下山的平均速度。
分析  要求往返一次的平均速度，应该用往返的总路程除以往返一次的总时间。往返一次的总路程就是上山与下山的总路程，由于是按原路下山，故总路程为60 ×18× 2 ＝2160。总时间为上山与下山的时间和，即18＋60 ×18 ÷90 ＝30（分）
解：（60 ×18 ×2）÷（18 ＋60× 18 ÷90）＝72（米/分）
即时练习
小妹去爬山，上山时每小时行3千米，沿原路返回时每小时行5千米，求小妹往返的平均速度。

例题3  甲班52人，乙班48人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是多少分？
分析：根据“乙班平均成绩比甲班平均成绩高7分”，假设甲乙两班总分增加52 7分，则甲乙平均成绩一样多，故[81 ×(52 ＋48) ＋52 ×7] ÷（52 ＋48）即可得到乙班平均成绩（即甲班增加了52 ×7后的平均成绩）。
解： [81 ×(52 ＋48) ＋52 ×7] ÷（52 ＋48）＝84.64（分）
即时练习
五年级（1）班52人，（2）班48人，数学考试中，两班全体学生的平均分为78分，（2）班的学生的平均分比（1）班的平均分高5分，两个班的平均分各是多少？

例题4   小宁共参加五次数学检测，前两次的平均分数是93分，后三次的平均分数是88分。小宁这5次检测的平均分数是多少？
分析：根据前两次检测的平均分数，可以求出前两次检测的总分数，同样的道理，可以求出后三次检测的总分数。用五次检测的总分数除以检测的总次数就可以得出五次检测的平均分数。
解:(93 ×2＋ 88 ×3) ÷5 ＝90（分）
即时练习
冰冰期末考试，语文、数学两科平均成绩93分；数学、自然两科平均成绩达97分；语文、自然两科平均成绩也有90分。冰冰的语文、数学、自然三科成绩各多少分？

2009/07/01回复

tanglong4466楼8楼

例题5 某班统计数学考试成绩，得平均成绩85.23分，事后复查，发现将小林的成绩96分误作69分计算了，给重新算后，该班数学平均成绩是85.77分，求这个班的学生有多少名？
分析：将小林的成绩96分误作69分，少算了96 －69 ＝27（分），而平均成绩相差85.77 －85.23 ＝0.54（分），因此27分中包含多少个0.54分，该班就有多少名学生。
（96 －69）÷(85.77 －85.23）＝ 50(名)
即时练习
甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人平均分为92分，可是乙在抄分时把自己的分数错抄成了85分，因此四人的平均分变成为89分。乙这次考试得多少分？

例题6 小雨期中考试数学、英语、自然的平均成绩是76分，语文成绩公布后，他的平均成绩提高了3分，小雨的语文成绩是多少分？
分析：小雨期中考了4门功课，要求语文成绩。可以用4科成绩的和减去其中3科成绩的和。由于4科均分比3科的均分高3分，那么4科的均分就是76＋3 ＝79（分）。
如果语文也考了76分，这样4科均分仍为76分，但实际均分高出了3分。显然语文成绩要高出原均分，并且高出的成绩正好分给每一科，使每一科各增加了3分，这样共多出了3 ×4 ＝12（分），所以语文成绩：76 ＋4× 3 ＝88（分）
解：方法一：（76 ＋3）× 4 －76×3＝88（分）
方法二：76＋ 4× 3 ＝88（分）
即时练习
小华在期末考试时英语成绩公布前，他的4门功课的平均成绩是90分。英语成绩公布后，他的5门功课的平均分数下降了2分。小华的英语考了多少分？

例题7
7名裁判员给一位演员打分，平均分9.6分。去掉一个最高分，平均分为9.55分；去掉一个最低分，平均分为9.7分。如果最高分和最低分都去掉，这位演员平均得多少分？
分析：7名裁判员所打的总分是9.6×7 ＝67.2（分），去掉一个最高分剩下6名裁判员的总分为9.55× 6 ＝ 57.3（分）。去掉一个最低分剩下6名裁判员的总分为9.7× 6＝ 58.2（分），可以求出去掉1个最高分和1个最低分，剩下5位评委的总分为58.2－（67.2 －57.3）＝48.3（分），最后可以求出这个演员的平均分。
解：［9.7 ×6 －（9.6×7 －9.55 ×6）］÷ 5 ＝ 9.66(分)
即时练习
五位裁判给一名歌手打分，去掉一个最高分和一个最低分后平均分得9.38分；去掉一个最高分后平均得分9.26分；去掉一个最低分后平均得分9.46分；这位歌手的最高分与最低分分别是多少？

练兵台
1.甲乙两地相距60千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行20千米，到达乙地后，又从乙地沿原路返回甲地，每小时30千米。这辆汽车往返甲乙两地的平均速度是多少？
2.几个数的平均数是18.6，若把其中的一个数10改为16，这几个数的平均数是19.1，求共有几个数？
3．下面一串数是一个等差数列：3、7、11 …… 643，这串数的平均数是多少？
4．有四个数，从第二个数起，每一个数都比前一个数大3，已知这四个数的平均数是24.5，其中最大的一个数是多少？
5．甲、乙、丙3个同学各拿出同样多的钱合买同样规格的圆珠笔芯，买来之后，甲和乙都比丙多要6支，因此，甲、乙分别给丙人民币0.96元。求毎去圆珠笔芯的价钱是多少？

2009/07/01回复

tanglong4466楼9楼

第六讲
质数、合数与分解因数

导读
1.质数与合数
一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）。质数只有两个约数。
一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数，合数至少有三个约数。
1．只有一个约数，就是它本身，1既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，也是质数中唯一的一个偶数，其余的质数全是奇数，最小的合数是4。
2．质因数和分解因数。
如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数。
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
利用以上知识，很多数字难题都可以化难为易。

例题1 有两个质数，它们之和既是一个小于100的奇数，又是17的倍数，这两个质数的积是多少？
分析：既小于100，又是17的倍数的奇数17，15和85三个数。
根据偶数＋奇数＝奇数，可知这两个奇数中必有一个质数是偶数2（质数中唯一的偶数）。
解：因为17 ＝ 2 ＋15，15是合数；51 ＝2 ＋49，49是合数；85 ＝2 ＋83，83是质数，所以这两个质数是2和83。因此，这两个质数的积是2 ×83 ＝166。

即时练习
两个质数的和是39，这两个质数的积是多少？

例题2
24有多少个约数？这些约数的和是多少？
分析：24 ＝8 ×3 。8的约数有1，2，4，8，共4个；3的约数有1，3，共2个。根据分步讲数原理，24的约数个数为（3 ＋ 1）×（1＋1）＝ 4 ×2 ＝8。
这8个约数为1，2，4，6，8，12，24。它们的和为60 。

即时练习
144的全部约数有多少个？这些约数的和是多少？

例题3 将下面八个数平均分成两组，使这两组数各组的乘积相等。
14
33
35
30
75
39
143
169
分析：把八个数平均分成两组，每组四个数。要使两组数的乘积相等，这两组数的乘积中所含有的质因数必须完全相同。因此，可以将这八个数分解质因数，再按照各组中每种质因数的个数相同进行分组，即可得到答案。
解：把八个数分别分解因数。
14 ＝ 2 × 7
33 ＝ 3 × 11
35 ＝
5 × 7
30 ＝ 2 × 3 × 5
75 ＝ 3 × 5 × 5
39 ＝ 3 × 13
143 ＝ 11 × 13
169 ＝ 13 × 13
在这些因数中一共有四个2，四个3，四个5，两个7，两个11，四个13，共18个因数。那么在所分成的两个组中，应当各含有9个因数。即：一个2，两个3，两个5，一个7，一个11，两个13。
经过排列分为两个组：（169，33，35，30），（39，143，75，14）
或者（169，33，75，14），（39，143，35，30）
即时练习3
把8，21，25，35，44，65，78，99这八个数平均分成两组，使每组中四个数的乘积相等。

2009/07/03回复

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例题4 有三张卡片，它们上面各写一个数字，从中抽出一张、二张、三张，按任意顺序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数写出来。

分析：抽一张卡片，可写出一位数1、2、3；抽出两张卡片，可写出两位数12，21，13，31，23，32；抽出3张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，这些数中，1不是质数，偶数除2以外都不是质数，各位数字和是3的倍数时，除3以外都不是质数。因此，质数有：2，3，13，31，23。

即时练习4
写出符合下列条件的所有质数：它是一个两位数，个位与十位数字都是质数。

例题5  某班同学在陈老师的带领下去福利院擦玻璃。同学们恰好能平均分成4组，并且师生每人擦的块数同样多。己知师生一共擦了102块玻璃，平均每人擦了多少块玻璃？
分析：根据每人擦的块数 × 人数＝ 102块，可以知道每人擦的块数和人数都是102的约数，可以先把102分解质因数：102 ＝ 2× 3 ×17。由于学生恰好能平均分成4组，所以总人数应比4的倍数多1。在102的所有约数中，比4的倍数多1的只有17，因此共有17人，平均每人擦2× 3＝ 6块玻璃。

即时练习5
李老师带领一部分学生去植树，同学们正好可以平均分成3组，如果师生每人植树的棵数一样多，则共植了155棵树，平均每人植树多少棵？

例题6 某村民用几只船分三次运送315袋化肥。已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋。问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋）
分析：因为每只船载的化肥袋数相等，且分三次把315袋化肥运完，所以每次运送105袋，又每次运送的总袋数105袋应为每只船上载的化肥袋数与船数的积，即每次运化肥的船数与每只船上的化肥袋数都是105的约数。所以只要把105分解质因数，就可以求出船数和每只船载化肥袋数。
解：315 ＝ 3 × 105
105 ＝
3 × 5 × 7
因为每只船上载的袋数相等且至少载7袋，所以每次用的船数和每只船上所载的化肥袋数有以下几种情况：
(1)用3只船，每只船载35袋化肥；    （2）用5只船，每只船载21袋化肥；
（3）用7只船，每只船载15袋化肥；  （4）用15只船，每只船载7袋化肥。
（因为每只船至多载50袋，均每次不能1只船载105袋）

练兵台
1．把20，26，33，35，39，42，44，55，91分成三组，使每组数相乘法的积相等。
2．甲数比乙数大7，两个数的乘积是450，求这两个数的和是多少？
3．有3个小朋友，他们年龄恰好一个比一个大1岁，他们年龄之积为2184，3个小朋友的年龄各是多少？
4．有三个自然数，最大的比最小的大6，另一个是它们的平均数，而且三个数的乘积是15400，试求这三个自然数。
5．请给出5个质数，把它们按从小到大的顺序排列起来，使相邻的两数的差都是16。

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感谢各位MM们的支持和厚爱，我会坚持把资料上传上来。

说明：第四讲面积的计算，第五讲数的整除，因图形和特殊符号很多，给打印和编辑带来很的困难，需稍晚才能推出，希望理解！

2009/07/03回复

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2009/07/03回复

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2009/07/04回复

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第七讲
最大公约数

   导读：整数a 除以整数b(b≠0)，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除（或b能整除a）,a就叫做b的倍数，b叫做a的约数。
   几个数公有的约数叫做这几个数的公约数，其中最大的一个，叫做最大公约数。
   在解决关于最大公约数问题时，常用的结论有：
1．如果a与b互质，那么a和b 的最大公约数是1。
2．如果a是b的整数倍，那么a和b的最大公约数是b.
3．两个数分别除以它们的最大公约数，所得的商是互质数。
4．两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。
5．如果a 大于b,那么a—b与b最大公约数就等于a与b的最大公约数。
6．a ＋b 与b
的最大公约数就等于 a 与b
的最大公约数。
7．一个较大数与另一个数的最大公约数，等于较大数除以另一个数所得的余数与另一个数的最大公约数。

例题1  有一张长方形的纸，长1.36米，宽0.8米。裁成一样大小的正方形，并使它们的面积尽可能大，裁完后又正好没有剩余，可裁出几个正方形？
分析：1.36米＝136厘米
0.8米＝80厘米
根据题意，裁得的正方形边长必须是136和80的最大公约数。正因为边长是最大公约数，所以它能同时满足“面积尽可能大”、“裁完后正好没有剩余”两条件。
136和80的最大公约数是8。
解：（136 ÷8）×（80 ÷8）＝ 170（个）
即时练习1
把一张长72厘米，宽48厘米的长方形纸，裁成若干相自等的正方形而没有剩余，要使正方形的边长尽可以大，可以分成多少个正方形？

例题2
求84，24和16的最大公约数。
分析：求三个数的最大公约数，可以用分解质因数的方法，还可以用短除法来求。
解：84 ＝ 2 ×2 ×3 ×7
24 ＝2 ×2 ×2 ×3
16 ＝2 ×2 ×2 ×2
84，24和16的最大公约数的是4。
即时练习2
求42、168和252的最大公约数。

命题3 有两根钢管，长度分别为2.4米和4.2米。如果把它们截成同样长的小段而没有剩余，要使每小段尽可能长，一共可能截成多少段？
分析：2.4米＝24分米，4.2米＝42分米
根据题意，要截成同样长的小段而没有剩余，并且每小段要尽可能长，那么每小段的长度就应该是24分米和42分米的最大公约数。
解：（24、42）＝ 6
即每小段最长6分米
24 ÷6 ＋42 ÷6 ＝11（段）
即时练习
有3根铁丝，长度分别是12厘米、18厘米和24厘米。现在要把它们截成相等的小段，每根都不许有剩余，每小段最长是多少厘米？一共可以截成多少段？

2009/07/05回复

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命题4 将一块长3.57米、宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块。问当正方体是边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大（不计锯时的损耗），锯完后木料不许有剩余？
分析：假设锯完后小木块的边长为a,那么锯得的所有小木块堆起来，适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状。这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说，就是3.57、1.05、0.84的公约数，另外还要求小木块体积最大，也就是要求小木块的边长a最大。所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数。
解：因为3.57米＝357厘米，1.05米＝105厘米，0.84米＝84厘米，又因为

3
/ 357
105
84

2/ 119
35
28
所以a ＝(357,105,84) ＝3 ×7 ×21

17
5
4
即时练习
有一个长方体木块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米。如果要切成同样大小的的小正方体，这些正方体的棱长是多少厘米？

例题5 某车间工人加工一种零件，第一批加工1788个，第二批加工1680个，第三批加工2098个。各批平均分给工人加工，分别剩7个、3个，5个，最多有多少工人参加加工？
分析：我们不妨先把三批加工零件的剩余数剔开，这样三批实际加工的零件数分别为：1788 －7 ＝1781（个），1680 －3 ＝1677（个），2098 －5 ＝2093（个）
因为这三批零件是由同样的工人数完成的，显然工作数目必是三批实际加工零件数的公约数。1781、1677和2093的最大公约数是13。
即时练习
园林工人要加工一种盆景，第一批加工303盆，第二批加工179盆，第三批加工535盆。各批都平均分给工人加工，分别剩余3盆、4盆和10盆。一共有多少工人参加加工？

命题6
甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公约数是16，求这个数。
分析：因为16是它的两个数的最大公约数，所以甲、乙两数都是16的倍数。不妨设甲数÷16 ＝a,乙数÷16＝b 。由16是最大公约数可知a与b互质。同时可以知道：甲数＝16a，乙数＝16b，因此甲、乙两数的乘积为16 a ×16b ＝16× 16 ×ab,又知道乘积是3072，因此有16 ×16 ×ab ＝3072,所以ab ＝12。因为a 与b互质，所以a、b为1或12，或者是3或4。所以原来的甲、乙两数为16 ×1 ＝16和16 ×12 ＝192；或者16 ×3 ＝48和16× 4 ＝64。
即时练习
已知甲、乙两数的和是125，它们的最大公约数是25，求这两个数。

练后台
1．把一张长4.5分米、宽3.6分米、高2.4分米的长方体切成大小相等的小正方体木块，不许有剩余，小正方体木块的棱长是多少？
2．有50支铅笔，75把尺子和175个练习本，要把它们平均分给小朋友，要求每个小朋友所分到的三种文具的个数分别相等，最多能分给多少个小朋友？
3．两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差为几？
4．有22支铅笔和33个练习本，平均分给灾区来的儿童，结果铅笔多1支，练习本少2本。灾区来的儿童有多少名？
5．一个除以410时余5，除242时少1，除550时余10。这个数是多少？

2009/07/05回复

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第八讲
最小公倍数

导读：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫这几个数的最小公倍数。一般的，把自然数a和b的最小公倍数记作［a,b］，比如［4，6］=12，［2，12，10］=60.
求几个数的最小公倍数，可以采用分解质因数或短除法。两个数的最小公倍数必须包含这两个数全部公有的质因数，以及各自独有的质因数；三个数的最小公倍数除了必须包含这三个数全部公有的质因数，还必须包含每两个数公有的质因数以及各自独有的质因数。关于最小公倍数，我们还需要知道以下几点：
1.如果 a 与b 互质，那么a
与b的最小公倍数是 ab 。
2.如果 a 是 b的整数倍，那么a 与b 的最小公倍数是 a 。
3.两个数最大公约数与最小公倍数的积等于这两个数的乘积。
理解和掌握这些关系，有助于我们正确、灵活和迅速解决与此有关的各种问题。

例题1
两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，这两个数分别是多少？
分析：设这两个数为甲和乙，根据它们的最大公约数是9，不妨设9/甲乙

a
b(a与b互质)
那么它们的的最小公倍数就是9ab= 90，因此ab= 10。由于a 与 b 互质，所以 a,b 分别为1和10，或2和5.原来的两个数分别是9 ×1 ＝ 9或9 × 10＝ 90和9× 5 ＝ 45。

即时练习1
两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，求这两个数。

例题2
方娟有一筐苹果，7个一数还余4个，5个一数又少了3个，3个一数正好。这筐苹果至少有多少个？
分析：根据题意，这筐苹果的数量应是3的倍数，同时又是比3、5、7的最小公倍数少3的数。
解：3、5、7的最小公倍数是3 × 5 × 7 ＝ 105

105 － 3 ＝ 102
即时练习2
一盒围棋子，4个一数多3个，6个一数多5个，15个一数多14个。这盒围棋子至少有多少个？

例题3
排练团体操时，要求队伍分别变成14行、16行、18行、20行、22行，都成为长方形。问最少需要多少人参加团体操？
分析：由于队伍要成长方形，因此人数必须是行数的倍数，求最少需要多人，其实誻求各行的最小公倍数。
解：［14、16、18、20、22］＝ 55440
即时练习3
排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时队伍都成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？

2009/07/09回复

tanglong4466楼17楼

例题4
玲玲和小光每人隔不同的天数到图书馆看书，玲玲每6天去一次，小光每8天去一次。这个星期天，他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天，他们又在图书馆相遇？
分析：玲玲去图书馆的时间间隔为6的倍数，小光为8的倍数。要求“至少再过多少天，他们又图书馆相遇”，也就是求6和8的最小公倍数。因为［6，8］＝ 24，所以至少24天他们又在图书馆相遇。
即时练习4
11路车、51路车和22路车都在市民广场发车。11路车每隔8分钟发一辆，51路车每隔15分钟发一辆，22路车每隔9分钟发一辆。当这三条路线的车同时发车后，至少再过多少时间，又会同时发车？

例题5
公路上一排电线杆，共有25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析：60和45的最小公倍数是180，则从第一根起每隔180米一根不移动。
解：这条公路长 45 ×（25 － 1）＝ 1080（米），
1080 ÷ 180＝ 6（根）
第一根也不必移动，所以是6 ＋ 1 ＝ 7（根）

即时练习5
甲、乙两地有一段公路长72000米，路旁有路标，原来每300米有一个（起点、终点各一个），现在要改为800米一个，有多少个旧路标可以利用？

例题6
加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时完成15个。假设由你安排，每道工序至少各分配几个工人才是最佳搭配？
分析：为了提高效率，每道工序单位时间内加工的产品总数应该相同。造成产品积压，降低工作效率，为了不使产品积压，那么每道工序的产品数应相同，即为6、10、15的公倍数，为了使每道工序安排的人数最少，加工的产品数量应为6、10、15的最小公倍数。
解：［6、10、15］
3 5 2
30
第一道工序至少排人数为：30 ÷ 6 ＝ 5（人）
第二道工序至少排人数为：30 ÷ 10 ＝ 3（人）
第三道工序至少排人数为：30 ÷ 15 ＝2（人）
即时练习6
某轿车制造厂，完成整车装备要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成8个，第二道工序每个工人每小时可完成12个，第三道工序每个工人可完成16个，为了提高效率，三道工序各应至少安排几个工人？

例题7 两个数的最大公约数是10，最小公倍数是140，已知其中一个数是70，另一个数是多少？
分析：根据“两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数和乘积”可知：
解：10 × 140 ＝ 70× a，所以a＝
(10 × 140) ÷ 70 ＝ 20
或设另一个数是a,则：
10/ 70
a

7
a1
10 × 7 × a1 ＝ 140,a1 ＝ 140 ÷
70 ＝ 2
a ＝ 2 × 10 ＝ 20
即时练习7
两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，已知这两个数的和为77，求这两个数。
练兵台
1．公共汽车有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次。三条线路在同一时间发车后，再经过多少分钟又同时发车？

2.有一筐苹果，每8个一数，最后剩下1个；每10个一数，最后剩下1下；每12个一数，最后剩下1个。这筐苹果有多少个？

3．爷爷对小军说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍。再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小军的现在的年龄分别是多少岁？

4．同学们排队做操，无论是每行排6人，还是每行排8人或12人，都正好排满，没有剩余。至少有多少人在做操？

5．用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？

2009/07/09回复

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                  第九讲
行程问题（一）
导读
  这一讲我们来研究行程问题中的另一种典型的应用题——同向追及问题。
  同向追及问题的特点是：两个物体同时沿同一方向运动，慢者在前面，快者在后面。他们
之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。
  它有三个基本的数量：追及时间、速度差以及路程差。其基本的数量关系式是：
  追及时间=路程差（即相隔路程）/速度差（快行速度-慢行速度）
  速度差=路程差/追及时间
  路程差=速度差*追及时间
  我们来具体看几个例子。

例题1  小强和小英从相距80米的两地同时同向行走，小英在前面每分钟走50米，小强在后面每分钟走70米。两分钟后小强和小英还相隔多少米？
  解法一：以小强出发的地点为起点，那么2分钟后，小英与起点相隔的距离就是80米加上她两分钟行走的路程：80+50*2=180（米0，同理可以求出2分钟后，小强与起点相隔的路程，这样再来求他们相隔的距离就不难了。
  解法二：这一题还可以这样来分析：小强每分钟比小英多走70-50=20（米），即每分钟他们的距离可以缩短20米，两分钟他们的距离就可以缩短20*2+40（米），那么他们还相距80-40+40（米）
  解：  解法一：（80+50*2）-70*2=40（米）
      解法二：80-（70-50）*2=40（米）
                        答：两分钟后小强和小英还相隔40米。
即时练习1
   甲、乙两艘轮船从相距60千米的码头同时出发相向而行，甲轮船每小时行驶25千米，乙轮船在后每小时行38千米，几小时后两轮船还相距21千米？

例题2  小强和小英从相距80米的两地同时同向而行，小英在前面每分钟走50米，小强在
      后面每分钟走70米，几分钟后小强可以追上小英？
   思路启迪  小强比小英每分钟多行的路程是70-50=20（米），通过例1的分析，可知，他们每分钟的距离可缩短20米，要求几分钟后小强追上小英，也就是求80米里面有多少个20米，这就是第一个数量关系式的道理。
解：
80/（70-50）=4（分钟）
                                    答：4分钟后小强追上小英。
即时练习2
   娟子和小平从相距140米的两地同时同向而行，小平在前每分钟走45米，娟子在后每分钟走65米，即分钟后娟子可以追上小平？

例题3  一辆汽车从甲地出发，速度是每小时50千米，在汽车开出1小时后，一辆摩托车以每小时75千米的速度从同一地点出发沿同一行驶路线去追这辆汽车，几小时可以追上？追上时距出发地的距离是多少？
思路启迪  当摩托车出发时，汽车已经开出了1小时，距离摩托车50*1=50（千米）
而摩托车1小时可以追上汽车75-50=25（千米），用相距的路程除以每小时的路程就可算出
几小时可以追上。再用摩托车的速度乘以追上的时间就得到追上时距出发地多少千米了。
解：
50*1/（75-50）=2（小时）

75*2=150（千米）

即时练习 3
   哥哥放学回家，以每小时6千米的速度前行，18分钟后，弟弟也从同一学校放学回家，
弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟追上哥哥？追上时距离学校多少千米。

2009/07/20回复

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