tanglong4466楼命题4 将一块长3.57米、宽1.05米，高0.84米的长方体木料，锯成同样大小的正方体小木块。问当正方体是边长是多少时，用料最省且小木块的体积总和最大（不计锯时的损耗），锯完后木料不许有剩余？
分析：假设锯完后小木块的边长为a,那么锯得的所有小木块堆起来，适当组合以后一定可以堆成原来长方体木料的形状。这就是说3.57、1.05、0.84都是小木块边长a的倍数，反过来说，就是3.57、1.05、0.84的公约数，另外还要求小木块体积最大，也就是要求小木块的边长a最大。所以a是3.57、1.05、0.84三个数的最大公约数。
解：因为3.57米 ＝357厘米，1.05米 ＝105厘米，0.84米 ＝84厘米，又因为
3
/ 357
105
84
2/ 119
35
28
所以a ＝(357,105,84) ＝3 ×7 ×21
17
5
4
即时练习
有一个长方体木块，长60厘米，宽40厘米，高24厘米。如果要切成同样大小的的小正方体，这些正方体的棱长是多少厘米？
例题5 某车间工人加工一种零件，第一批加工1788个，第二批加工1680个，第三批加工2098个。各批平均分给工人加工，分别剩7个、3个，5个，最多有多少工人参加加工？
分析：我们不妨先把三批加工零件的剩余数剔开，这样三批实际加工的零件数分别为：1788 －7 ＝1781（个），1680 －3 ＝1677（个），2098 －5 ＝2093（个）
因为这三批零件是由同样的工人数完成的，显然工作数目必是三批实际加工零件数的公约数。1781、1677和2093的最大公约数是13。
即时练习
园林工人要加工一种盆景，第一批加工303盆，第二批加工179盆，第三批加工535盆。各批都平均分给工人加工，分别剩余3盆、4盆和10盆。一共有多少工人参加加工？
命题6
甲、乙两个数的乘积是3072，它们的最大公约数是16，求这个数。
分析：因为16是它的两个数的最大公约数，所以甲、乙两数都是16的倍数。不妨设甲数÷16 ＝a,乙数÷16＝b 。由16是最大公约数可知a与b互质。同时可以知道：甲数＝16a，乙数＝16b，因此甲、乙两数的乘积为16 a ×16b ＝16× 16 ×ab,又知道乘积是3072，因此有16 ×16 ×ab ＝3072,所以ab ＝12。因为a 与b互质，所以a、b为1或12，或者是3或4。所以原来的甲、乙两数为16 ×1 ＝16和16 ×12 ＝192；或者16 ×3 ＝48和16× 4 ＝64。
即时练习
已知甲、乙两数的和是125，它们的最大公约数是25，求这两个数。
练后台
1．把一张长4.5分米、宽3.6分米、高2.4分米的长方体切成大小相等的小正方体木块，不许有剩余，小正方体木块的棱长是多少？
2．有50支铅笔，75把尺子和175个练习本，要把它们平均分给小朋友，要求每个小朋友所分到的三种文具的个数分别相等，最多能分给多少个小朋友？
3．两个自然数的和为50，它们的最大公约数是5，则这两个数的差为几？
4．有22支铅笔和33个练习本，平均分给灾区来的儿童，结果铅笔多1支，练习本少2本。灾区来的儿童有多少名？
5．一个除以410时余5，除242时少1，除550时余10。这个数是多少？
小升初数学系列讲座之五六级衔接篇
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叶大妈
小林秘笈
圆圆的漂亮妈妈第八讲
最小公倍数
求几个数的最小公倍数，可以采用分解质因数或短除法。两个数的最小公倍数必须包含这两个数全部公有的质因数，以及各自独有的质因数；三个数的最小公倍数除了必须包含这三个数全部公有的质因数，还必须包含每两个数公有的质因数以及各自独有的质因数。关于最小公倍数，我们还需要知道以下几点：
1.如果 a 与b 互质，那么a
与b的最小公倍数是 ab 。
2.如果 a 是 b的整数倍，那么a 与b 的最小公倍数是 a 。
3.两个数最大公约数与最小公倍数的积等于这两个数的乘积。
理解和掌握这些关系，有助于我们正确、灵活和迅速解决与此有关的各种问题。
例题1
两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，这两个数分别是多少？
分析：设这两个数为甲和乙，根据它们的最大公约数是9，不妨设9/甲 乙
a
b(a与b互质)
那么它们的的最小公倍数就是9ab= 90，因此ab= 10。由于a 与 b 互质，所以 a,b 分别为1和10，或2和5.原来的两个数分别是9 ×1 ＝ 9或9 × 10＝ 90和9× 5 ＝ 45。
即时练习1
两个数的最大公约数是6，最小公倍数是144，求这两个数。
例题2
方娟有一筐苹果，7个一数还余4个，5个一数又少了3个，3个一数正好。这筐苹果至少有多少个？
分析：根据题意，这筐苹果的数量应是3的倍数，同时又是比3、5、7的最小公倍数少3的数。
解：3、5、7的最小公倍数是3 × 5 × 7 ＝ 105
105 － 3 ＝ 102
即时练习2
一盒围棋子，4个一数多3个，6个一数多5个，15个一数多14个。这盒围棋子至少有多少个？
例题3
排练团体操时，要求队伍分别变成14行、16行、18行、20行、22行，都成为长方形。问最少需要多少人参加团体操？
分析：由于队伍要成长方形，因此人数必须是行数的倍数，求最少需要多人，其实誻求各行的最小公倍数。
解：［14、16、18、20、22］＝ 55440
即时练习3
排练团体操时，要求队伍变成10行、15行、18行、24行时队伍都成为长方形，问最少需要多少人参加团体操的排练？
2009/07/09回复
例题4
玲玲和小光每人隔不同的天数到图书馆看书，玲玲每6天去一次，小光每8天去一次。这个星期天，他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天，他们又在图书馆相遇？
分析：玲玲去图书馆的时间间隔为6的倍数，小光为8的倍数。要求“至少再过多少天，他们又图书馆相遇”，也就是求6和8的最小公倍数。因为［6，8］＝ 24，所以至少24天他们又在图书馆相遇。
即时练习4
11路车、51路车和22路车都在市民广场发车。11路车每隔8分钟发一辆，51路车每隔15分钟发一辆，22路车每隔9分钟发一辆。当这三条路线的车同时发车后，至少再过多少时间，又会同时发车？
例题5
公路上一排电线杆，共有25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析：60和45的最小公倍数是180，则从第一根起每隔180米一根不移动。
解：这条公路长 45 ×（25 － 1）＝ 1080（米），
1080 ÷ 180＝ 6（根）
第一根也不必移动，所以是6 ＋ 1 ＝ 7（根）
即时练习5
甲、乙两地有一段公路长72000米，路旁有路标，原来每300米有一个（起点、终点各一个），现在要改为800米一个，有多少个旧路标可以利用？
例题6
加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时完成15个。假设由你安排，每道工序至少各分配几个工人才是最佳搭配？
分析：为了提高效率，每道工序单位时间内加工的产品总数应该相同。造成产品积压，降低工作效率，为了不使产品积压，那么每道工序的产品数应相同，即为6、10、15的公倍数，为了使每道工序安排的人数最少，加工的产品数量应为6、10、15的最小公倍数。
解：［6、10、15］
3 5 2
30
第一道工序至少排人数为：30 ÷ 6 ＝ 5（人）
第二道工序至少排人数为：30 ÷ 10 ＝ 3（人）
第三道工序至少排人数为：30 ÷ 15 ＝2（人）
即时练习6
某轿车制造厂，完成整车装备要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成8个，第二道工序每个工人每小时可完成12个，第三道工序每个工人可完成16个，为了提高效率，三道工序各应至少安排几个工人？
例题7 两个数的最大公约数是10，最小公倍数是140，已知其中一个数是70，另一个数是多少？
分析：根据“两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数和乘积”可知：
解：10 × 140 ＝ 70× a，所以a＝
(10 × 140) ÷ 70 ＝ 20
或设另一个数是a,则：
10/ 70
a
7
a1
10 × 7 × a1 ＝ 140,a1 ＝ 140 ÷
70 ＝ 2
a ＝ 2 × 10 ＝ 20
即时练习7
两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，已知这两个数的和为77，求这两个数。
练兵台
1．公共汽车有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次。三条线路在同一时间发车后，再经过多少分钟又同时发车？
2.有一筐苹果，每8个一数，最后剩下1个；每10个一数，最后剩下1下；每12个一数，最后剩下1个。这筐苹果有多少个？
3．爷爷对小军说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍。再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小军的现在的年龄分别是多少岁？
4．同学们排队做操，无论是每行排6人，还是每行排8人或12人，都正好排满，没有剩余。至少有多少人在做操？
5．用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
玲玲和小光每人隔不同的天数到图书馆看书，玲玲每6天去一次，小光每8天去一次。这个星期天，他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天，他们又在图书馆相遇？
分析：玲玲去图书馆的时间间隔为6的倍数，小光为8的倍数。要求“至少再过多少天，他们又图书馆相遇”，也就是求6和8的最小公倍数。因为［6，8］＝ 24，所以至少24天他们又在图书馆相遇。
即时练习4
11路车、51路车和22路车都在市民广场发车。11路车每隔8分钟发一辆，51路车每隔15分钟发一辆，22路车每隔9分钟发一辆。当这三条路线的车同时发车后，至少再过多少时间，又会同时发车？
例题5
公路上一排电线杆，共有25根，每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析：60和45的最小公倍数是180，则从第一根起每隔180米一根不移动。
解：这条公路长 45 ×（25 － 1）＝ 1080（米），
1080 ÷ 180＝ 6（根）
第一根也不必移动，所以是6 ＋ 1 ＝ 7（根）
即时练习5
甲、乙两地有一段公路长72000米，路旁有路标，原来每300米有一个（起点、终点各一个），现在要改为800米一个，有多少个旧路标可以利用？
例题6
加工某种机器零件，要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成6个，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时完成15个。假设由你安排，每道工序至少各分配几个工人才是最佳搭配？
分析：为了提高效率，每道工序单位时间内加工的产品总数应该相同。造成产品积压，降低工作效率，为了不使产品积压，那么每道工序的产品数应相同，即为6、10、15的公倍数，为了使每道工序安排的人数最少，加工的产品数量应为6、10、15的最小公倍数。
解：［6、10、15］
3 5 2
30
第一道工序至少排人数为：30 ÷ 6 ＝ 5（人）
第二道工序至少排人数为：30 ÷ 10 ＝ 3（人）
第三道工序至少排人数为：30 ÷ 15 ＝2（人）
即时练习6
某轿车制造厂，完成整车装备要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成8个，第二道工序每个工人每小时可完成12个，第三道工序每个工人可完成16个，为了提高效率，三道工序各应至少安排几个工人？
例题7 两个数的最大公约数是10，最小公倍数是140，已知其中一个数是70，另一个数是多少？
分析：根据“两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数和乘积”可知：
解：10 × 140 ＝ 70× a，所以a＝
(10 × 140) ÷ 70 ＝ 20
或设另一个数是a,则：
10/ 70
a
7
a1
10 × 7 × a1 ＝ 140,a1 ＝ 140 ÷
70 ＝ 2
a ＝ 2 × 10 ＝ 20
即时练习7
两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210，已知这两个数的和为77，求这两个数。
练兵台
1．公共汽车有三条线路通往不同的地方。第一条线路每隔5分钟发车一次，第二条线路每隔6分钟发车一次，第三条线路每隔10分钟发车一次。三条线路在同一时间发车后，再经过多少分钟又同时发车？
2.有一筐苹果，每8个一数，最后剩下1个；每10个一数，最后剩下1下；每12个一数，最后剩下1个。这筐苹果有多少个？
3．爷爷对小军说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍。再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”爷爷和小军的现在的年龄分别是多少岁？
4．同学们排队做操，无论是每行排6人，还是每行排8人或12人，都正好排满，没有剩余。至少有多少人在做操？
5．用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少要用这样的木块多少块？
2009/07/09回复
xanyang
恺妈
落入凡间深处
CJ.99 第九讲
行程问题（一）
导读
这一讲我们来研究行程问题中的另一种典型的应用题——同向追及问题。
同向追及问题的特点是：两个物体同时沿同一方向运动，慢者在前面，快者在后面。他们
之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。
它有三个基本的数量：追及时间、速度差以及路程差。其基本的数量关系式是：
追及时间=路程差（即相隔路程）/速度差（快行速度-慢行速度）
速度差=路程差/追及时间
路程差=速度差*追及时间
我们来具体看几个例子。
例题1 小强和小英从相距80米的两地同时同向行走，小英在前面每分钟走50米，小强在后面每分钟走70米。两分钟后小强和小英还相隔多少米？
解法一： 以小强出发的地点为起点，那么2分钟后，小英与起点相隔的距离就是80米加上她两分钟行走的路程：80+50*2=180（米0，同理可以求出2分钟后，小强与起点相隔的路程，这样再来求他们相隔的距离就不难了。
解法二： 这一题还可以这样来分析：小强每分钟比小英多走70-50=20（米），即每分钟他们的距离可以缩短20米，两分钟他们的距离就可以缩短20*2+40（米），那么他们还相距80-40+40（米）
解： 解法一：（80+50*2）-70*2=40（米）
解法二：80-（70-50）*2=40（米）
答：两分钟后小强和小英还相隔40米。
即时练习1
甲、乙两艘轮船从相距60千米的码头同时出发相向而行，甲轮船每小时行驶25千米，乙轮船在后每小时行38千米，几小时后两轮船还相距21千米？
例题2 小强和小英从相距80米的两地同时同向而行，小英在前面每分钟走50米，小强在
后面每分钟走70米，几分钟后小强可以追上小英？
思路启迪 小强比小英每分钟多行的路程是70-50=20（米），通过例1的分析，可知，他们每分钟的距离可缩短20米，要求几分钟后小强追上小英，也就是求80米里面有多少个20米，这就是第一个数量关系式的道理。
解：
80/（70-50）=4（分钟）
答：4分钟后小强追上小英。
即时练习2
娟子和小平从相距140米的两地同时同向而行，小平在前每分钟走45米，娟子在后每分钟走65米，即分钟后娟子可以追上小平？
例题3 一辆汽车从甲地出发，速度是每小时50千米，在汽车开出1小时后，一辆摩托车以每小时75千米的速度从同一地点出发沿同一行驶路线去追这辆汽车，几小时可以追上？追上时距出发地的距离是多少？
思路启迪 当摩托车出发时，汽车已经开出了1小时，距离摩托车50*1=50（千米）
而摩托车1小时可以追上汽车75-50=25（千米），用相距的路程除以每小时的路程就可算出
几小时可以追上。再用摩托车的速度乘以追上的时间就得到追上时距出发地多少千米了。
解：
50*1/（75-50）=2（小时）
75*2=150（千米）
即时练习 3
哥哥放学回家，以每小时6千米的速度前行，18分钟后，弟弟也从同一学校放学回家，
弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟追上哥哥？追上时距离学校多少千米。
行程问题（一）
导读
这一讲我们来研究行程问题中的另一种典型的应用题——同向追及问题。
同向追及问题的特点是：两个物体同时沿同一方向运动，慢者在前面，快者在后面。他们
之间的距离不断缩短，直到快者追上慢者。
它有三个基本的数量：追及时间、速度差以及路程差。其基本的数量关系式是：
追及时间=路程差（即相隔路程）/速度差（快行速度-慢行速度）
速度差=路程差/追及时间
路程差=速度差*追及时间
我们来具体看几个例子。
例题1 小强和小英从相距80米的两地同时同向行走，小英在前面每分钟走50米，小强在后面每分钟走70米。两分钟后小强和小英还相隔多少米？
解法一： 以小强出发的地点为起点，那么2分钟后，小英与起点相隔的距离就是80米加上她两分钟行走的路程：80+50*2=180（米0，同理可以求出2分钟后，小强与起点相隔的路程，这样再来求他们相隔的距离就不难了。
解法二： 这一题还可以这样来分析：小强每分钟比小英多走70-50=20（米），即每分钟他们的距离可以缩短20米，两分钟他们的距离就可以缩短20*2+40（米），那么他们还相距80-40+40（米）
解： 解法一：（80+50*2）-70*2=40（米）
解法二：80-（70-50）*2=40（米）
答：两分钟后小强和小英还相隔40米。
即时练习1
甲、乙两艘轮船从相距60千米的码头同时出发相向而行，甲轮船每小时行驶25千米，乙轮船在后每小时行38千米，几小时后两轮船还相距21千米？
例题2 小强和小英从相距80米的两地同时同向而行，小英在前面每分钟走50米，小强在
后面每分钟走70米，几分钟后小强可以追上小英？
思路启迪 小强比小英每分钟多行的路程是70-50=20（米），通过例1的分析，可知，他们每分钟的距离可缩短20米，要求几分钟后小强追上小英，也就是求80米里面有多少个20米，这就是第一个数量关系式的道理。
解：
80/（70-50）=4（分钟）
答：4分钟后小强追上小英。
即时练习2
娟子和小平从相距140米的两地同时同向而行，小平在前每分钟走45米，娟子在后每分钟走65米，即分钟后娟子可以追上小平？
例题3 一辆汽车从甲地出发，速度是每小时50千米，在汽车开出1小时后，一辆摩托车以每小时75千米的速度从同一地点出发沿同一行驶路线去追这辆汽车，几小时可以追上？追上时距出发地的距离是多少？
思路启迪 当摩托车出发时，汽车已经开出了1小时，距离摩托车50*1=50（千米）
而摩托车1小时可以追上汽车75-50=25（千米），用相距的路程除以每小时的路程就可算出
几小时可以追上。再用摩托车的速度乘以追上的时间就得到追上时距出发地多少千米了。
解：
50*1/（75-50）=2（小时）
75*2=150（千米）
即时练习 3
哥哥放学回家，以每小时6千米的速度前行，18分钟后，弟弟也从同一学校放学回家，
弟弟骑自行车以每小时15千米的速度追哥哥。经过几分钟弟弟追上哥哥？追上时距离学校多少千米。
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