原帖由 昊旻妈妈 于 2010-2-7 22:51 发表 1.有一个正整数的平方,它们最后三位数字相同但不为零。试求满足上述条件的最小正整数。
解:差点忘了还漏了一题没解,这题挺有意思的。一个数的平方个位不是0的话只能是1,4,5,6,9,而凡是末位为5的数的平方末两位必定是25,所以末三位是555的情况排除,接下来分奇数和偶数讨论。一个奇数的平方减1必定是8的倍数(自己设x=2n+1就很容易验证了),而能被8整除的数的特征刚好就是看末三位能否被8整除,而无论是999-1=998还是111-1=110都不能被8整除,所以末三位是111和999的情况都排除。接下来考虑偶数的情况,一个偶数的平方必然能被4整除,而能被4整除的数满足末两位能被4整除,而66明显不能被4整除,所以末三位是666的情况也排除了,剩下就能确定满足题目的数的末三位必定是444,于是从最小的444开始尝试,接着是1444,2444,3444…刚好1444=38*38,所以满足条件的最小的数是1444。